運動方程式

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運動方程式をしろう

力は加速度を生む

静止している物体を動かしたいときどうしたらよいでしょうか。
等速直線運動している物体を加速させるにはどうしたらよいでしょうか。
答えは力を加えることです。

力を加えると加速度が生じ、運動が変化します。
この力と加速度の関係を示すのが運動方程式になります。
では運動方程式を見ていきましょう。

 

運動方程式

質量\(m\) [kg], 加速度\(a\) [m/s2], 力\(F\) [N]を用いて

\begin{align} ma=F \end{align}

と表されます。
力\(F\)はforce の頭文字であり単位は[N](ニュートン)です。

 

力と加速度は比例する

運動方程式を変形します。

\begin{align} a=\frac{F}{m} \end{align}

質量\(m\)を一定であるとすると、力\(F\)と加速度\(a\)は比例関係にあることがわかります。
よって力\(F\)が2倍3倍になれば、加速度\(a\)も2倍3倍になります。

 

質量と加速度は反比例する

\begin{align} a=\frac{F}{m} \end{align}

力\(F\)を一定であるとすると、加速度\(a\)と質量\(m\)は反比例の関係にあることがわかります。
よって質量\(m\)が2倍3倍になれば、加速度\(a\)は\(\frac{1}{2}\)倍\(\frac{1}{3}\)倍になります。
これは、質量\(m\)が加速しにくさであることを意味しています。

 

重力を出す

質量\(m\)の物体が地球から受ける重力の大きさを求めてみましょう。
地球表面上にある物体は、一定の重力加速度\(g\)を受けます。
これを運動方程式に代入すると

\begin{align} F=mg \end{align}

となります。

よって質量\(m\)の物体は地球によって\(mg\) [N]の力で引っ張られていることがわかります。

重力加速度の図

 

運動方程式を立てて問題を解く

問題を解くながれ

①物体にかかっている力を全て書く
ある物体の運動を考えたいとき、物体にかかっている力を全て書き出します。

②運動方程式を立てる
物体にかかっている力が分かったら、運動方程式に代入して加速度を求めましょう。

③加速度から速度や位置を求める
求まった加速度が一定であるならば、等加速度運動の公式に代入することにより、速度や位置を求めることができます。

 

例題

糸に繋がれた物体
図のように2つの物体を紐でつなぎ、滑車を用いてぶら下げる。それぞれの質量は\(M\) [kg]と\(m\) [kg]であり\(M\gt m\)である。また、紐の質量は無視できるほど軽く、伸び縮みしない。正の向きを上にとるとき、紐の張力\(T\)の大きさを求めよ。

 

解答

まず、物体にかかっている力を図にすべて書く。
正の向きを加えた糸に繋がれた物体

次に、２つの物体それぞれについて運動方程式をたてる。

質量\(m\)の物体：

\begin{align} ma=T-mg \end{align}

よって

\begin{align} a=\frac{T-mg}{m} \end{align}

質量\(M\)の物体：

\begin{align} Ma=T-Mg \end{align}

よって

\begin{align} a=\frac{T-Mg}{M} \end{align}

ここで、2つの物体の加速度は大きさが同じで向きが逆である。
よって、

\begin{align} \frac{T-mg}{m}=-\frac{T-Mg}{M} \end{align}
そして、\(T\)について解いていく。
両辺に\(Mm\)をかけて
\begin{align} M(T-mg)&=-m(T-Mg)\\\\
MT-mMg&=-mT+mMg\\\\
MT+mT&=2mMg\\\\
(M+m)T&=2mMg\\\\
T&=\frac{2mM}{M+m}g
\end{align}