落体の運動

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この記事では、重力によって落下していく物体の運動を考えていきます。落体の運動にはさまざまな種類がありますが、基本はすべて等加速度運動です。よって使う公式は

\begin{align} v=at+v_0\\\\
x=\frac{1}{2}at^2+v_0t\\\\
v^2-v_0^2=2ax \end{align}

だけです。

どのように物体が落下するかを理解し、式に表すことが出来るようになりましょう。

 

重力加速度

地球上で高い所から物を落とすと、重力によって速度を上げながら落下していきます。
このときの重力による加速度を重力加速度\(g\)といいます。
(\(g\)はgravityの頭文字)

重力加速度は地球表面上で\(g\simeq9.8\) m/s2であり、質量によりません。
よって、空気抵抗を考えなければ、どんな物体でも速度を1秒ごとに9.8 m/sずつ増加させながら落下します。

落体の運動をみよう

自由落下

自由落下とは、初速度を与えずにそっと落としたときの運動をいいます。

図を見てください。
自由落下の図

 

自由落下は下向きに運動をするため、通常正の向きを下向きにとります。
また、鉛直方向の運動なので\(x\)ではなく\( y \)を用います。
※鉛直方向とは重力の方向です。

 

では、自由落下の公式を作ってみましょう。

まず、元となる式は次の3つです。

\begin{align} v=at+v_0\\\\
y=\frac{1}{2}at^2+v_0t\\\\
v^2-v_o^2=2ay \end{align}

次に自由落下である条件を加えていきます。
自由落下であるため初速度\(v_0=0\)であり、重力加速度は正の向きであるため

\begin{align} a=g \end{align}

となります。

 

よってこれらを代入すると

\begin{align} v&=gt\\\\
y&=\frac{1}{2}gt^2\\\\
v^2&=2gy \end{align}

となります。

 

鉛直投げ上げ

鉛直投げ上げとは、真上に初速度を与えて落下していく運動です。
図を見てください。
鉛直投げ上げ

 

鉛直投げ上げでは、上向きに初速度が与えられるため、通常正の向きを上向きにとります。
次に正の向きは上ですが、重力加速度の向きは下なので

\begin{align} a=-g \end{align}

となります。

 

よって、鉛直投げ上げの公式は次のようになります。

\begin{align} v=-gt+v_0\\\\
y=-\frac{1}{2}gt^2+v_0t\\\\
v^2-v_o^2=-2gy \end{align}

 

鉛直投げ下げ

鉛直投げ下げとは、真下に初速度を与えて落下していく運動です。
図を見てください。
鉛直投げ下げ

 

鉛直投げ下げでは下向きに運動をするため、通常正の向きを下にとります。
次に正の向きと重力加速度の向きが同じであるため\[a=g\]となります。

 

よって、鉛直投げ下げの公式は次のようになります。

\begin{align} v=gt+v_0\\
y=\frac{1}{2}gt^2+v_0t\\\\
v^2-v_0^2=2gy \end{align}

 

水平投射

水平投射とは、水平方向のみに初速度を与え落下していく運動です。
図を見てください。
水平投射

 

水平投射のように\(x\)軸方向,\(y\)軸方向どちらにも動いているとき、軸ごとに分けて考える必要があります。

 

\(x\)軸方向

まず、\(x\)方向に初速度\(v_0\)が与えられています。
また、\(x\)軸方向には加速度がかかっていないため\(a=0\)となります。

 

よって、\(x\)軸方向の公式は
\[v_x=v_0\\
x=v_0t
\]
となります。これは、等速直線運動をすることを表わしています。

 

\(y\)軸方向

\(y\)軸方向に初速度は与えられていないため、下向きに運動を始めます。そのため、正の向きを下にとります。すると、重力加速度の向きと同じなので\[a=g\]となります。

 

これらより、\(y\)軸方向の公式は次のようになります。
\[
v_y=gt\\
y=\frac{1}{2}gt^2\\
v_y^2=2gy
\]

これは、自由落下の公式と一致します。
よって、\(y\)軸方向の運動は自由落下と同じになります。

 

斜方投射

斜方投射とは、斜めに初速度を与え落下していく運動です。よって、\(x\)軸,\(y\)軸どちらの方向にも初速度が与えられます。
図を見てください。
斜方投射

斜方投射も軸ごとに分けて考えていきます。

 

\(x\)軸方向

まず、\(x\)軸方向に与えられて初速度を\(v_{x0}\)とします。
次に、\(x\)軸方向には加速度がかかっていないため\(a=0\)となります。

 

よって、\(x\)軸方向の公式は
\[v_x=v_{x0}\\x=v_{x0}t\]
となります。
これは、等速直線運動をすることを表わしています。

 

\(y\)軸方向

まず、\(y\)軸方向に与えられた初速度を\(v_{y0}\)とします。
また、この初速度は上向きに与えられたものとして正の向きを上にとります。
すると、正の向きと重力加速度の向きと反対であるため\[a=-g\]となります。

 

よって、\(y\)軸方向の公式は
\[
v_y=-gt+v_{y0}\\
y=-\frac{1}{2}gt^2+v_{y0}t\\
v_y^2-v_{y0}^2=-2gy
\]
となります。

 

これは、鉛直投げ上げの公式と一致します。
よって、\(y\)軸方向の運動は鉛直投げ上げと同じになります。