積の微分公式

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積の微分公式

この項では、物理に限らず数学でも非常によく使われる積の微分公式について説明する。積の微分公式は、\( f(x)\cdot g(x) \)のように、関数同士の積となっている関数を微分するときに使う。

積の微分公式は次のように表される。

\begin{align} \left( f(x)\cdot g(x)\right)’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \end{align}

積の微分公式の証明

微分公式の証明と聞くと難しいと思うかもしれないが、微分公式のほとんどは微分の定義式に基づいて計算すれば証明することができる。
一応微分の定義式を書いておこう。
\[\begin{align}f'(x)  &=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{align}\]
この項では「積の微分公式」を証明する。
関数\(F(x)=f(x)・g(x)\)という二つの関数\(f(x)\)と\(g(x)\)の積で表されている関数\(F(x)\)の微分を考える。例えば \(F(x)=x・cosx\)といった関数だ。
早速微分の定義式に\(F(x)\)を代入してみよう。
\[\begin{align}F'(x)&=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{F(x+h)-F(x)}{(x+h)-x}\\\\&=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{(x+h)-x}\end{align}\]

ここで、分子に \(-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x) (=0)\)を加える。\(0\)を分子に加えていることになるので、値は変化しない。

「え、なにそれ」と思うかもしれないが、公式の証明ではこういった「いや、思いつくわけないやん」みたいなテクニックがよく出てくるのであまり気にしないでほしい。

 

では、計算の続きを追ってみよう。

\[\begin{align}F'(x)&=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)}{(x+h)-x}\\\\
&=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{{[f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)]}+{[f(x+h)g(x)-f(x)g(x)]}}{h}\\\\
&=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\left(\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)}{h}+\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}\right)\\\\
&=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\left( f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+g(x)\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right)\\\\
\end{align}\]

 

\(lim\)の中の\(1\)項目と\(2\)項目それぞれの\(h\)を\(0\)に限りなく近づけていくと、微分の定義から

\begin{align} F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\tag{1} \end{align}

この(1)式が積の微分公式である。実際に計算するときはこれを覚えていなければならない。

実際に計算するときは、

「前だけ微分\(\left(=f'(x)\right)\)で後ろはそのまま\(\left(=g(x)\right)\)」

+「後ろだけ微分\(\left(=g'(x)\right)\)で前はそのまま\(\left(=f(x)\right)\)」

と覚えておくとよい。

 

まとめ

積の微分公式と、計算方法をまとめると、

積の微分公式: \(\left( f(x)\cdot g(x)\right)’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \)

「前だけ微分\(\left(=f'(x)\right)\)で後ろはそのまま\(\left(=g(x)\right)\)」

+「後ろだけ微分\(\left(=g'(x)\right)\)で前はそのまま\(\left(=f(x)\right)\)」

例題

では、実際に公式を利用してみよう。

関数\(F(x)=(x+1)(3x+2)\)の微分を考える。積の微分を使えば、これを展開することなく微分することができる。

 

①「前だけ微分\(\left(=f'(x)\right)\)で後ろはそのまま\(\left(=g(x)\right)\)」

⇒\( (x+1)'(3x+2) = 3x+2 \)

 

②「後ろだけ微分\(\left(=g'(x)\right)\)で前はそのまま\(\left(=f(x)\right)\)」

⇒\( (x+1)(3x+2)’ = 3(x+1)\)

 

①、②の結果を足すと、\(F'(x)\)は

\begin{align} F'(x)=6x+5 \end{align}

となる。