微分って何?

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中学数学から復習しよう

 中学数学で学んだ、「変化の割合」を覚えているだろうか。式に表すと
\[\text{変化の割合}=\frac{{yの増加量\ \ \ \ \ }}{{xの増加量\ \ \ \ \ }}\]
である。ある関数 \(y=f(x)\) があり、\((x_1,f(x_1))\) と \((x_2,f(x_2))\) を通る直線の傾き\(a\)は、
\[a=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\]
と表される。中学の復習はここまでにして、早速微分へ足を踏み入れてみよう

微分の定義

    関数\(y=f(x)\)があり、 \((x,f(x))\) と \((x+h,f(x+h))\) の2点を通る直線を考えていこう。
    この2点を通る直線の傾き \(a\) が
  \[\begin{align}a&=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}\\ \\ &=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\end{align}\]
となるのは先ほどの復習で確認した。ここで、\(h\)を\(0\)に近づけると、直線はどのようになるか想像してみてほしい。
    \(h\)を\(0\)に近づけると、2点間の距離はだんだんと小さくなってきて、直線は \((x,f(x))\) における接線になることがわかる。
  微分の定義イメージ
    よって先ほどの傾き \(a\) の式において、\(h\)を\(0\)に近づけると、 \((x,f(x))\) における接線の傾きになるのである。
    このことを\(\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \)(\(h\)を限りなく\(0\)に近づけるという意味で、\(lim\)は「極限」を意味する”\(limit\)”の略である)を用いて表すと、\((x,f(x))\) における接線の傾きは
\[\begin{align}a&=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}\\ \\&=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\tag{1}\end{align}\]
    となる。これが微分の定義である。(1)式の\(a\)は一般に「導関数」といい、\(f'(x)\)と書き表し、\(x\)における \(y=f(x)\) の接線の傾きを表している。
    関数 \(y=f(x)\) の導関数を求めることを「\(y\)を微分する」、もしくは 「\(f(x)\) を微分する」という。
    また、ある位置\(x=c\)における接線の傾きは、\(f'(c)\) と書き表し、これを\(x=c\)における微分係数という。
    ここで、導関数と微分係数の違いが何かわからなくて混乱しているかもしてないので、説明を加えておく。
    導関数はあらゆる位置\(x\)における接線の傾きを示した関数であり、微分係数はある特定の位置における接線の傾きのである。
    つまり、導関数は一般、微分係数が具体である。

\(x^n\)の導関数

 微分の定義は理解できただろうか。この項では実際に微分の計算を行ってみよう。
関数 \(f(x)=x^n\) (\(n\)は自然数)を考える。これの導関数 \(f'(x)\) を定義に基づいて計算してみよう。
\[\begin{align}f'(x)&=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}\\\\
&=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{(x+h)^n-x^n}{h}\tag{2}\end{align}\]
ここで、二項定理を使って\((x+h)^n\)を展開すると、
\[\begin{eqnarray}(x+h)^n={}_n \mathrm{ C }_0x^n + {}_n \mathrm{ C }_1 x^{n-1}h^1 + {}_n \mathrm{ C }_2 x^{n-2}h^2 + ・・・
+ {}_n \mathrm{ C }_{n-1} x^1h^{n-1} + {}_n \mathrm{ C }_n h^n \tag{3}
\end{eqnarray}\]
 (2)式に(3)式を代入すると、
 \[\begin{align}f'(x) &=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{{}(_n \mathrm{ C }_0x^n + {}_n \mathrm{ C }_1 x^{n-1}h^1 + {}_n \mathrm{ C }_2 x^{n-2}h^2 + ・・・
+ {}_n \mathrm{ C }_{n-1} x^1h^{n-1} + {}_n \mathrm{ C }_n h^n)-x^n}{h} \\
\\&=\displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{ {}_n \mathrm{ C }_1 x^{n-1}h^1 + {}_n \mathrm{ C }_2 x^{n-2}h^2 + ・・・
+ {}_n \mathrm{ C }_{n-1} x^1h^{n-1} + {}_n \mathrm{ C }_n h^n}{h}\\
\\&= \displaystyle \lim_{ h \to 0 }[ {}_n \mathrm{ C }_1 x^{n-1} + {}_n \mathrm{ C }_2 x^{n-2}h^1 + ・・・
+ {}_n \mathrm{ C }_{n-1} x^1h^{n-2} + {}_n \mathrm{ C }_n h^{n-1}]\tag{4}\end{align}\]
 \(h\) は \(0\) に限りなく近づくため、\(h\) がかかっていない1項目以外は \(0\) と見なせる。
 つまり、1項目だけが残るので、(4)式は
 \[f'(x)=nx^{n-1}\tag{5}\]
 となる。以上の計算では\(n\)は自然数という仮定の下で行ったが、(5)式は\(n\)が実数においても成り立つ。これの証明は対数微分法という数Ⅲの知識が必要であるので、また後の項で証明をする。