加速度・等加速度直線運動

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加速度は1秒間での速度変化

車は加速と減速を繰り返しながら運動をします。

このとき、加速や減速が一体どれくらい激しいものなのかを表わす物理量があると便利です。

そこで、1秒間でどれくらい速度が変化するかを表わす物理量として、加速度\(a\)を導入します。

(\(a\)はaccelerationの頭文字です。)

 

平均の加速度

図のようにx軸上を運動する球を考えます。

運動する球

時刻\(t_1\)のとき速度\(v_1\)、時刻\(t_2\)のとき速度\(v_2\)であるとき、時刻\(t_1\)から\(t_2\)での平均の加速度は次のように表されます。

\begin{align} a=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}} \end{align}

速度を時間で割っているため、加速度\(a\)の単位は[m/s2]になります。

 

これを\(v-t\)グラフを用いて考えてみます。

v-tグラフ

\((t_1,v_1)\)と\((t_2,v_2)\)を通る直線をひきます。

この直線の傾きを求めると

\begin{align} \text{傾き}=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}} \end{align}

これは、先ほどの平均の加速度を求める公式と一致しています。

よって、ある2点間での「平均の加速度」を求めたいとき、その2点を通る直線の傾きを求めればよいことになります。

  • 加速度\(a\)は1秒間でどれくらい速度が変化するか
  • \(a=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}} \)
  • ある2点間での「平均の加速度」を求めるには、\(v-t\)グラフにおいて2点を通る直線の傾きを求める

 

瞬間の加速度

瞬間とは、極めて短い時間を指します。

よって、「瞬間の加速度」は極めて短い時間で平均の加速度を考えることにより求めることが出来ます。

このことを式に表すと

\begin{align} a=\displaystyle \lim_{ \Delta{t}\to 0}\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}} \end{align}

これを\(v-t\)グラフで考えてみます。
瞬間の加速度

図のように微小時間で直線をひくと、接線のようになることが分かります。

これより、瞬間の加速度は\(v-t\)グラフにおいて時刻\(t\)での接線の傾きに等しくなることが分かります。

  • 「瞬間の加速度」=極めて短い時間での「平均の加速度」
  • \( a=\displaystyle \lim_{ \Delta{t}\to 0}\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}} \)
  • ある時刻\(t\)での「瞬間の加速度」は、\(v-t\)グラフにおいて時刻\(t\)での接線の傾きと等しい

 

速度との対応関係

速度と加速度の定義の仕方はとても似ています。そこで、速度と加速度を比べることで理解を深めましょう。

 

速度\(v\) 加速度\(a\)
定義 1秒間での位置の変化 1秒間での速度の変化
平均の○○ \begin{align} v=\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}} \end{align} \begin{align} a=\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}} \end{align}
瞬間の○○ \begin{align}v=\displaystyle \lim_{ \Delta{t}\to 0}\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}} \end{align} \begin{align} a=\displaystyle \lim_{ \Delta{t}\to 0}\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}} \end{align}
備考 \(x-t\)グラフの傾き \(v-t\)グラフの傾き

 

等加速度直線運動3公式

加速度が一定で直線上を動く運動を等加速度直線運動といいます。

等加速度直線運動では3つの重要な公式があり、さまざまな運動に対して適用することが出来ます。

公式の意味を理解し、暗記してしまいましょう。

 

公式

まず、重要な3つの公式を見てみましょう。

\begin{align} v=at+v_0 \end{align}
\begin{align} x=\frac{1}{2}at^2+v_0t \end{align}
\begin{align} v^2-v_0^2=2ax \end{align}

この式は非常に重要です。必ず覚えてしまいましょう。

 

\(v-t\)グラフから公式導出

\(v=at+v_0\)の導出

\(v-t\)グラフにおける傾きは、加速度を表わしていました。
また、等加速度直線運動を考えているため、加速度は一定です。
よって、\(v-t\)グラフの傾きが一定であるため、速度\(v\)は一次関数になります。

v-tグラフを表わす図

もう少し詳しく見てみましょう。

\(t=0\)のとき速度は\(v=v_0\)となります。

この速度\(v_0\)を初速度といいます。

そして、\(at\)は速度の増減を表わしています。

速度の式

 

また、\(a=0\)のとき速度は時間によらず、常に\(v=v_0\)となります。

これは、加速度が\(0\)で速度変化がないため、等速直線運動をすることを表わしています。

 

\(x=\frac{1}{2}at^2+v_0t\)の導出

ある物体が運動するとき、その変位は\(v-t\)グラフの面積と一致します。
下図を見てください。

グラフと変位

時刻\(t\)における変位は、図の赤い部分の面積と等しくなります。

 

では、赤い部分の面積を求めてみましょう。

図のように面積を2つに分割します。

 

グラフの面積を求める図

①三角形の面積は\( \frac{1}{2}\times t \times at=\frac{1}{2}at^2\)
②長方形の面積は\( t\times v_0=v_0t \)

よって、変位\(x\)は2つの面積を合わせて\(x= \frac{1}{2}at^2+v_0t \)となります。

 

\(v^2-v_0^2=2ax\)の導出

この公式は\(v=at+v_0 \ \ (1)\)と\(x=\frac{1}{2}at^2+v_0t \ \ (2)\)を用いて導出します。
少し複雑で難しいため覚えてしまったほうが良いかもしれません。

まず、(1)式を変形して

\begin{align} t=\frac{v-v_0}{a} \ \ (a\neq0)  \ \ (1)’\end{align}

(1)’を(2)に代入すると

\begin{align} x&=\frac{1}{2}a\left( \frac{v-v_0}{a} \right)^2+v_0\frac{v-v_0}{a}
\\\\&=\frac{1}{2a}(v^2-2vv_0+v_0^2)+\frac{vv_0-v_0^2}{a}\\\\&=\frac{v^2-2vv_0+v_0^2+2vv_0-2v_0^2}{2a}\\\\&=\frac{v^2-v_0^2}{2a} \end{align}

よって、\( v^2-v_o^2=2ax \ \ \ (a\neq0) \)
ここで、\(a=0\)のとき\(v=v_0\)であるため

\begin{align} v^2-v_0^2=2ax=0 \end{align}

よって、\( v^2-v_o^2=2ax \)が導出されました。

 

公式の使い方

では、この公式の使う手順は次の通りです。

  1. 問題文に書いてある物理量を探す
  2. 問題文で問われている物理量を探す
  3. 問題文で見つけた物理量を含む公式を使う

では、実際にいくつか問題をやってみましょう。

問題

初速度10m/sで進む車が加速度5m/s2で加速している。3秒後の車の速度はいくつであるか求めよ。

 

解説

  1. この問題に書いてある物理量は\(v_0=10\)m/s , \(a=5\)m/s2 , \(t=3\)s
  2. この問題で問われている物理量は速度\(v\)
  3. よって、使うべき公式は問題文で書かれている物理量を含む\( v=at+v_0 \)
    \(v=5\times3+10=25\)となる。

このような手順を踏んで、問題を解いてみましょう。