仕事とエネルギー

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仕事

まず、物理において仕事とは何かを考えていきます。

人が物体を押す図

 

図のように物体に力\(F\)を加えて移動させます。

このとき、「力\(F\)は物体に足して仕事をした」といいます。そして、力\(F\)がした仕事の量を仕事\(W\)で表します。

 

仕事\(W\)は、力\(F\)と力の方向の変位\(s\)を用いて

\begin{align} W=Fs \end{align}

と表されます。

ここで仕事\(W\)の単位はJ [ジュール]です。

では、もう少し具体的に見ていきましょう。

 

力と変位が同じ方向のとき

坂にある物体を押す人

 

図のように、坂の上にある物体を押すことを考えます。

力\(F\)と変位\(s\)の方向は同じなので仕事\(W\)は

\begin{align} W=Fs \end{align}

とそのままになります。

 

力と変位の方向が違うとき

力を加える方向が移動方向と違う場合の図

 

図のように、斜めに力を加えて移動させることを考えます。このとき、物体が回転したり持ち上がったりすることはないようにします。

 

今回のように、力と変位の方向が違う場合には、力を変位の方向とそれに直交する成分に分解します。

力を分解した図

 

変位方向の力の成分を\(F_s\)とすると、力\(F_s\)がした仕事は

\begin{align} W=F_ss \end{align}

となります。

 

また、変位に直交する力\(F_{\perp}\) は仕事をしません。

 

よって、力\(F\)がした仕事は

\begin{align} W=F_ss \end{align}

となります。

 

ここで、力と変位のなす角を\(\theta\)とすると力\(F_s\)は

\begin{align} F_s=F\cos\theta \end{align}

と表せます。

 

だから力\(F\)がした仕事は

\begin{align} W=Fs\cos\theta \end{align}

となります。

これは、力\(F\)と変位\(s\)の内積です。

 

したがって、ある力\(F\)の仕事を知りたいとき、力\(F\)と変位\(s\)の内積を取ることで求めることが出来ます。

\begin{align} W&=F\cdot s\\&=|F||s|\cos\theta \end{align}

 

※力と変位が同じ向きのときでも

\begin{align} W&=F\cdot s\\&=|F||s|\cos0 \\&=|F||s|\end{align}

となるため、内積で求めることが出来ます。

 

さらに、仕事は変位方向の力と変位のグラフの面積を用いて表すことが出来ます。

グラフの面積と仕事

  • 仕事とは物体に力を加えたとき、その力と変位の内積のことである。
    \begin{align} W=F\cdot s \end{align}
  • 仕事は、変位方向の力と変位のグラフの面積である。

 

力学的エネルギー

エネルギーとは、仕事をする能力であり単位は仕事と同じJ [ジュール]です。

力学的エネルギーは、運動エネルギー、重力による位置エネルギー、弾性力による位置エネルギーがあります。

では、それぞれのエネルギーについて見ていきましょう。

 

重力による位置エネルギー

重力の位置エネルギーの図

 

重力による位置エネルギーは、基準点からの高さを\(h\)、物体の質量を\(m\)とすると\(mgh\)になります。

 

これは、次のような関係から求めることが出来ます。

(物体が持つ前のエネルギー)+(外部が物体にする仕事)=(物体が持つ後のエネルギー)

 

初め、物体は基準点にいるため位置エネルギーは0です。そこに、外部の力\(mg\)で\(h\)だけ持ち上げます。よって、外部のする仕事は\(W=mgh\)です。

重力に逆らって持ち上げたときに手がする仕事

 

よって物体が持つ位置エネルギーは\(mgh\)となります。

 

運動エネルギー

運動エネルギーの図

 

運動している物体が持つエネルギーを運動エネルギーといいます。

運動エネルギーは、質量\(m\), 速さ\(v\)を用いて\(\frac{1}{2}mv^2\)と表されます。

よって運動エネルギーは質量に比例し、速さの2乗に比例します。

 

弾性力による位置エネルギー

弾性力による位置エネルギー

 

バネが伸縮することにより、弾性力による位置エネルギーが生まれます。

この弾性力による位置エネルギーは、自然長からの変位を\(x\),ばね定数を\(k\)とすると\(\frac{1}{2}kx^2\)となります。

 

この弾性力による位置エネルギーも先ほどの関係から求めることが出来ます。

(バネの持つ前のエネルギー)+(外部がバネにする仕事)=(バネの持つ後のエネルギー)

 

まず、自然長のときバネはエネルギーを持っていません。

 

次に外部がする仕事を求めます。

外部が加える力はフックの法則より\(F=kx\)です。

よって、仕事はグラフの面積を求めればいいので図の三角形の面積を求めると\(\frac{1}{2}kx^2\)となります。

フックの法則と弾性エネルギー

 

したがって、弾性力による位置エネルギーは\(\frac{1}{2}kx^2\)です。

 

力学的エネルギー保存の法則

力学的エネルギー保存の法則とは、現象の前後で物体が持つエネルギーの総和が変化しないことです。

力学的エネルギー保存の法則

 

この法則が成立するためには、物体に対して重力や弾性力などの保存力のみが仕事をするときです。摩擦や空気抵抗、人間が加える力などの非保存力が物体に対して仕事をするときはこの法則は成立しません。

  • 運動エネルギー:\(\frac{1}{2}mv^2\)
  • 重力による位置エネルギー:\(mgh\)
  • 弾性力による位置エネルギー:\(\frac{1}{2}kx^2\)
  • 力学的エネルギー保存の法則は、現象の前後でエネルギーの総和が変化しないことである。
  • 非保存力が仕事をするとき、保存則は成立しない。