三角関数の微分

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 この項から、いろいろな関数(三角関数、対数関数、指数関数)の微分をしていく。ここでは三角関数を微分する。ここからは数Ⅲの範囲になるので、証明に必要な公式を説明抜きで使用するところがいくつかあるが、深追いはせずに「へぇー、こういう公式があるんだぁ」程度でスルーして欲しい。

\(\sin\)の微分

では、早速\(\sin x\)を微分していこう。微分の定義式に\(\sin x\)をぶちこんで三角関数の加法定理を使うと、

\[\begin{align}
(\sin x)’&= \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{\sin (x+h)-\sin x}{h}\\\\
&= \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}\\\\
&= \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{\sin x ( \cos h -1 )+\cos x\sin h}{h}\\\\
&=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\left[\frac{\cos h-1}{h}\sin x+\frac{\sin h}{h}\cos x\tag{1}\right]\\\\
\end{align}\]

ここで公式
\[
\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{\sin h}{h}=1 \tag{2}\\
\]
\[
\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{\cos h-1}{h}=0 \tag{3}
\]

を用いる。これらの公式は数Ⅲで習うので、その日まで待っていてほしい。この2つの公式を(1)式に代入すると、

\[
(\sin x)’=\cos x
\]

となる。つまり、\(\sin\)を微分すると\(\cos\)になるのである。

\(\cos\)の微分

次に\(\cos\)を微分してみよう。これも先程と同様に微分の定義式と三角関数の加法定理を用いる。

\[\begin{align}
(\cos x)’&= \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{\cos (x+h)-\cos x}{h}\\\\
&= \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{\cos x \cos h-\sin x \sin h-\cos x}{h}\\\\
&= \displaystyle \lim_{ h \to 0 }\frac{\cos x(\cos h-1)-\sin x\sin h}{h}\\\\
&=\displaystyle \lim_{ h \to 0 }\left[\frac{\cos h-1}{h}\cos x-\frac{\sin h}{h}\sin x\right]\\\\
\end{align}\]

先述の公式(2)、(3)を代入すると、

\[(\cos x)’=-\sin x\]

よって、\(\cos\)を微分するとマイナスがつくが、\(\sin\)になるのである。つまり、\(\sin\)を二回微分すれば\(\sin\)に戻ってくるのである。微分しても関数の形が変わらない、というのはあとで重要になってくる。
sinとcosの微分関係

\(\tan\)の微分

最後に\(\tan x\)を微分してみよう。\(\tan\)の微分は前の章で扱った商の微分公式を用いて求めることができる。
では、どうやって商の微分を使えばよいだろうか?そこで、\(\tan x\)は定義から
\[ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\]

である。こうすることで商の微分公式を使うことができる。

では、早速計算してみよう。

\[\begin{align}(\tan x)’&=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)\\\\&=\frac{(\sin x)’\cos x-\sin x(\cos x)’}{(\cos x)^2}\\\\&=\frac{(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{(\cos x)^2}\\\\&=\frac{(\cos x)^2+(\sin x)^2}{(\cos x)^2}\\\\&=\frac{1}{(\cos x)^2}\end{align}\]

従って、

\[(\tan x)’=\frac{1}{(\cos x)^2}\]

まとめ

以上に示した三角関数(\(\sin\),\(\cos\),\(\tan\))の微分をまとめてみよう。

\[(\sin x)’=\cos x\]

\[(\cos x)’=-\sin x\]

\[(\tan x)’=\frac{1}{(\cos x)^2}\]

これら3つの微分、特に\(\sin\)と\(\cos\)の微分は物理において非常に重要になるので、必ず覚えてほしい。